中考数学考点：三角函数公式推导过程

中考数学考点：三角函数公式推导过程

万能公式推导

sin2=2sincos=2sincos/(cos^2()+sin^2())......*，

（因为cos^2()+sin^2()=1）

再把*分式上下同除cos^2()，可得sin2=2tan/(1+tan^2())

然后用/2代替即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式推导

tan3=sin3/cos3

=(sin2cos+cos2sin)/(cos2cos-sin2sin)

=(2sincos^2()+cos^2()sin－sin^3())/(cos^3()－cossin^2()－2sin^2()cos)

上下同除以cos^3()，得：

tan3=(3tan－tan^3())/(1-3tan^2())

sin3=sin(2+)=sin2cos+cos2sin

=2sincos^2()+(1－2sin^2())sin

=2sin－2sin^3()+sin－2sin^3()

=3sin－4sin^3()

cos3=cos(2+)=cos2cos－sin2sin

=(2cos^2()－1)cos－2cossin^2()

=2cos^3()－cos+(2cos－2cos^3())

=4cos^3()－3cos

即

sin3=3sin－4sin^3()

cos3=4cos^3()－3cos

和差化积公式推导

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.

我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)