1．定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数．其中x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．
2．图象和性质
二次函数的图象都是开口向上或者向下的抛物线，都有一条垂直于x轴的对称轴，都有一个或者最高或者最低的顶点．一般地，二次函数y=ax2+bx+c的图象叫做抛物线y=ax2+bx+c．
（1）y=ax2(a是常数，a0）的性质
①开口方向：
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
②顶点坐标：（0，0）
a＞0时，（0，0）为最低点；
a＜0时，（0，0）为最高点．
③对称轴：y轴（直线x=0）．
④增减性：
当a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0时，
y随x的增大而增大（同增）；
当a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0时，
y随x的增大而减小（异减）．
⑤最值：
当a＞0，且x=0时，y有最小值0；
当a＜0，且x=0时，y有最大值0．
（2）y=ax2+c(a，c是常数，a0）的性质
①开口方向：
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
②顶点坐标：（0，c）
a＞0时，（0，c）为最低点；
a＜0时，（0，c）为最高点．
③对称轴：y轴（直线x=0）．
④增减性：
当a＞0，且x＞0或a＜0，且x＜0时，
y随x的增大而增大（同增）；
当a＞0，且x＜0或a＜0，且x＞0时，
y随x的增大而减小（异减）．
⑤最值：
当a＞0，且x=0时，y有最小值c；
当a＜0，且x=0时，y有最大值c．
（3）y=a（x-h）2(a，h是常数，a0）的性质
①开口方向：
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
②顶点坐标：（h，0）
a＞0时，（h，0）为最低点；
a＜0时，（h，0）为最高点．
③对称轴：直线x=h．
④增减性：
当a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h时，
y随x的增大而增大（同增）；
当a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h时，
y随x的增大而减小（异减）．
⑤最值：
当a＞0，且x=h时，y有最小值0；
当a＜0，且x=h时，y有最大值0．
（4）y=a（x-h）2+k(a，h，k是常数，a0）
的性质
①开口方向：
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
②顶点坐标：（h，k）
a＞0时，（h，k）为最低点；
a＜0时，（h，k）为最高点．
③对称轴：直线x=h．
④增减性：
当a＞0，且x＞h或a＜0，且x＜h时，
y随x的增大而增大（同增）；
当a＞0，且x＜h或a＜0，且x＞h时，
y随x的增大而减小（异减）．
⑤最值：
当a＞0，且x=h时，y有最小值k；
当a＜0，且x=h时，y有最大值k．
（5）y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0）
的性质
①开口方向：
a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
②顶点坐标：
a＞0时，为最低点；
a＜0时，为最高点．
③对称轴：．
④增减性：
当a＞0，且x＞或a＜0，且x＜时，
y随x的增大而增大（同增）；
当a＞0，且x＜或a＜0，且x＞时，
y随x的增大而减小（异减）．
⑤最值：
当a＞0，且x=时，y有最小值；
当a＜0，且x=时，y有最大值．
3．三种表达式
（1）一般式：
y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0）；
（2）顶点式：
y=a（x-h）2+k(a，h，k是常数，a0）；
（3）交点式：
y=a（x-x？）（x-x？）(a，x？，x？是常数，a0，
x？，x？分别是抛物线与x轴交点的横坐标）．
4．a，b，c的作用
（1）a决定抛物线的开口方向和大小：
①a＞0时，开口向上；a＜0时，开口向下．
②|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大．
（2）a、b决定抛物线对称轴的位置：
①ab＞0（a，b同号）时，
对称轴在y轴左侧(左同)
②ab＜0（a，b异号）时，
对称轴在y轴右侧(右异)
③ab=0（b=0）时，对称轴为y轴(0中间)
（3）c决定抛物线与y轴交点（0，c）的位置：
①c＞0，抛物线与y轴正半轴相交
②c＜0，抛物线与y轴负半轴相交
③c=0，抛物线与y轴相交于原点
（4）b2-4ac决定抛物线与x轴交点的个数：
①b2-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点
②b2-4ac＜0，抛物线与x轴无交点
③b2-4ac=0，抛物线与x轴有唯一一个
交点（即抛物线的顶点）